Задача ЕГЭ 16. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АА1 и СС1, К и М - основания перпендикуляров, опущенных из точки В на прямые АА1 и СС1. Докажите, что МК=АС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольник АВС - это треугольник с биссектрисой. Значит, он равнобедренный, так как биссектриса делит угол на две равные части, и углы при основании равны. То есть, АС=ВС.

Также, угол ВА1С равен углу ВC1А, так как это углы при основании равнобедренного треугольника. Значит, угол ВКМ равен углу ВА1С, так как они смежные вертикальные.

Теперь по теореме косинусов в треугольнике ВКМ:
МК^2 = ВМ^2 + ВК^2 - 2ВМВК*cos угла ВКМ.

Также по теореме косинусов в треугольнике ВАС:
АС^2 = ВС^2 + ВА^2 - 2ВСВА*cos угла ВАС.

Так как углы ВКМ и ВАС равны, то cos угла ВКМ = cos угла ВАС.

Подставляем эти выражения в уравнение МК^2 = АС^2 и получаем МК=АС.

Таким образом, доказано, что МК=АС.