Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ Докажите, что плоскость проведенная через середины ребер AB, BC и BB₁ параллельна плоскости АСВ₁. Вычислите периметр треугольника АСВ₁, если ребро куба 2 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что середины ребер AB, BC и BB₁ образуют прямоугольный треугольник. Плоскость, проведенная через середины ребер AB, BC и BB₁, будет проходить через вершину B₁ куба (поскольку BB₁ - высота прямоугольного треугольника).

Таким образом, мы получаем, что плоскость, проведенная через середины ребер AB, BC и BB₁, параллельна плоскости ACV₁.

Теперь найдем периметр треугольника ACV₁. Поскольку AC и AV₁ являются диагоналями основания куба, то AC = AV₁ = √(2a²), где a - ребро куба. Таким образом, AC = AV₁ = 2√2 см.

Треугольник ACV₁ является прямоугольным с гипотенузой AC = AV₁ = 2√2 см и катетами 2 см каждый. Следовательно, по теореме Пифагора периметр треугольника ACV₁ равен:

P = AC + AV₁ + CV₁ = 2√2 + 2 + 2 = 4√2 + 2 см.

Итак, периметр треугольника ACV₁ равен 4√2 + 2 см.