Основания трапеции равны 4 см и 8 см. Углы при большем основании равны 30 градусов и 60 градусов. Найдите длины боковых сторон трапеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения длин боковых сторон трапеции воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим длины боковых сторон трапеции через (a) и (b), а длину меньшего основания через (c).

Так как углы при большем основании равны 30 и 60 градусов, то стороны трапеции (a) и (b) образуют угол 90 градусов.

Тогда можем построить прямоугольный треугольник ABC, где (AC = 8) - основание трапеции, а (BC = a).

С помощью теоремы косинусов для треугольника ABC:

(b^2 = a^2 + 4^2 - 2 \cdot a \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ)

(b^2 = a^2 + 16 - 8a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})

(b^2 = a^2 + 16 - 4\sqrt{3}a)

Аналогично для треугольника BCD:

(b^2 = c^2 + a^2 - 2 \cdot c \cdot a \cdot \cos 60^\circ)

(b^2 = c^2 + a^2 - 4a)

(b^2 = c^2 + a^2 - 4a)

Так как (c = 4) и (b = 8), то подставляем значения:

(8^2 = 4^2 + a^2 - 4a)

(64 = 16 + a^2 - 4a)

(a^2 - 4a - 48 = 0)

((a - 8)(a + 6) = 0)

a = 8 или a = -6

Так как a - это длина стороны треугольника, a не может быть отрицательным числом.

Поэтому длина стороны a равна 8 см.

Так как b и c задаются аналогично с использованием основания 4 см и длины стороны 8 см получаем их значения:

(b = \sqrt{8^2 + 16 - 4\sqrt{3} \cdot 8} = \sqrt{64 + 16 - 32\sqrt{3}} = \sqrt{80 - 32\sqrt{3}})

(c = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80})

Таким образом, длины боковых сторон трапеции равны (8 \, см), (\sqrt{80 - 32\sqrt{3}}\, см) и (\sqrt{80}\, см).