Отрезок CH- высота прямоугльного треугольника ABC ( C=90 градусов ) . HL=3HK, где HL и HK - биссектрисы треугольников BCH и АСН соответственно, АВ=2*√5. Найти площадь ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из теоремы о биссектрисе треугольника мы знаем, что HL и HK делят стороны треугольников BCH и ACN в отношении их ближайших сторон. Так как HL=3HK, то места разделения этих биссектрисами сторон CH и CN будут в отношении 3:1.

Так как HL - биссектриса треугольника BCH, то можно записать, что расстояние от точки H до стороны BC равно (3/4) HL, то есть (3/4) HC. Аналогично, можно записать, что расстояние от точки H до стороны CN равно (1/4) * HC.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то HL и HK будут высотами, опущенными из вершины C на гипотенузу AB и гипотенузу AC соответственно.

В данной задаче AB=2*√5, поэтому площадь треугольника ABC равна:

S = (1/2) AB CH = (1/2) 2√5 CH = √5 * CH.

Теперь нам необходимо найти CH. Рассмотрим треугольник CBH. По теореме Пифагора:

CH^2 + 4^2 = 3^2 + HC^2,

CH^2 + 16 = 9 + HC^2.

Также, учитывая пропорцию (3/4): (1/4) между HC и HL, можно записать:

(3/4) * HC = HL.

Найдем сначала HL:

HL^2 + 9 = (3HL)^2,

HL^2 + 9 = 9HL^2,

8HL^2 = 9,

HL = √(9/8).

Теперь найдем CH:

(3/4) * CH = √(9/8),

CH = 4 * √(9/8) = 3.

Теперь подставим значение CH в формулу для площади треугольника ABC:

S = √5 * 3 = 3√5.

Итак, площадь треугольника ABC равна 3√5.