Дан куб АВСDА1В1С1D. Точки K, L, M, N–соответственно середины ребер A1D1, D1C1, DC, AD. Докажите, что плоскость, которая проходит через эти точки, параллельна плоскости четырехугольника АА1С1С.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что так как точки K, L, M, N являются серединами ребер куба, то отрезки A1K, KD1, D1L, LC1, C1M, MA, AN являются равными и параллельными соответствующим отрезкам ребер куба.

Поскольку отрезки A1N и NC1 являются диагоналями грани A1C1, то они равны и параллельны соответствующим ребрам куба. Следовательно, точки N и A1 лежат на одной прямой.

Аналогично отрезки AM и MB1 равны и параллельны соответствующим ребрам куба, следовательно точки M и B1 лежат на одной прямой.

Из этого следует, что прямая, проходящая через точки N и A1, параллельна прямой, проходящей через точки M и B1.

Так как точки A, M, N и C являются вершинами четырехугольника АА1С1С, то прямая, проходящая через точки M и N, параллельна плоскости четырехугольника АА1С1С.

Таким образом, плоскость, проходящая через точки K, L, M и N, параллельна плоскости четырехугольника АА1С1С.