1. На рёбрах AB и C1D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечены точки E и F так, что AE:EB=С1F:FD1. Докажите что середины отрезков EF и AC1 совпадают. 2. Ребра AB и AC тетраэдра ABCD равны, углы DAB и DAC также равны. Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим середины отрезков EF и AC1 как M и N соответственно. Так как AE:EB=С1F:FD1, то по теореме Таллера-Боле, мы имеем EF || C1D1
Так как EM=MF и CN=NA, то MN || AC1 (по теореме о равных сегментах в прямоугольнике). Таким образом, у нас получилось, что MN || EF || C1D1. Но тогда MN является основанием трапеции C1EFD1, и, следовательно, точка M — середина отрезка EF — совпадает с точкой N — серединой отрезка AC1.

Поскольку AB=AC и углы DAB и DAC равны, тетраэдр ABCD является равнобедренной трапецией. Тогда BD=AC и AD=BC. Теперь рассмотрим треугольники BCD и ACD. У них совпадают две стороны и угол между ними, значит, по признаку равенства треугольников, BD=AC. Но мы уже установили, что BD=AC, следовательно, треугольник ABC равнобедренный
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DAB. Так как AD=BC и углы DAB и BAC прямые, то прямые AD и BC перпендикулярны.