Рассмотрим на координатной плоскости точки A(-2; 5) и B(4; -3). Найдите координаты точки M, если AM^2 + BM^2 = 50.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем расстояния AM и BM с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости:

AM = √[(-2 - x)^2 + (5 - y)^2]
BM = √[(4 - x)^2 + (-3 - y)^2].

Теперь подставим найденные расстояния в уравнение AM^2 + BM^2 = 50:

[(-2 - x)^2 + (5 - y)^2] + [(4 - x)^2 + (-3 - y)^2] = 50.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

(-2 - x)^2 + (5 - y)^2 + (4 - x)^2 + (-3 - y)^2 = 50
(4 + x^2 - 4x) + (25 + y^2 - 10y) + (16 + x^2 - 8x) + (9 + y^2 + 6y) = 50
2x^2 - 12x + 2y^2 - 4y + 50 = 50.

Сократим 50 на обе стороны и упростим уравнение:

2x^2 - 12x + 2y^2 - 4y = 0
x^2 - 6x + y^2 - 2y = 0.

Теперь преобразуем уравнение в вид (x - a)^2 + (y - b)^2 = c:

(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 10.

Итак, координаты точки М равны (3; 1).