Найдите радиусы окружностей, вписанной в правильный треугольник и описанной около него, если их разность равна 4 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиусы вписанной и описанной окружностей равны r и R соответственно. Так как треугольник правильный, то центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности. Также известно, что радиус вписанной окружности равен половине суммы сторон треугольника, а радиус описанной окружности равен половине стороны треугольника.

r = (a + b + c)/2,
R = a,

где a, b, c - стороны правильного треугольника.

Так как разность радиусов равна 4, то:

R - r = 4,
a - (a + b + c)/2 = 4,
2a - (a + b + c) = 8,
a - b - c = 8,
a = b + c + 8.

Так как треугольник равносторонний:

a = b = c.

Тогда подставим a = b = c в уравнение a = b + c + 8:

a = a + a + 8 = 3a + 8,
2a = 8,
a = 4.

Теперь найдем радиусы:

r = (a + b + c)/2 = 4,
R = a = 4.

Итак, радиусы вписанной и описанной окружностей равны 4 см.