Найдите стороны параллелограмма, если его диагонали равны 22 м и 16 м, а один из углов, образованных ими, равен 120 градусам

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны параллелограмма равны a и b. Тогда диагонали параллелограмма делят его на 4 равных треугольника.

Из теоремы косинусов для треугольника найдем косинус угла между диагоналями:
(cosα = \frac{\frac{a}{2}\frac{a}{2} + \frac{b}{2}\frac{b}{2} - \frac{22}{2}\frac{16}{2}}{\frac{a}{2}\frac{b}{2}} = \frac{a^2 + b^2 - 256}{ab}).

Так как a, b - стороны параллелограмма, их можно найти по следующим формулам:
(a^2 + b^2 = 22^2 и a^2 + b^2 - 2abcosα = 16^2).

150 = a^2 + b^2 (уравнение 1)
160 = a^2 + b^2 - 2ab(-0.5)
160 = a^2 + b^2 + ab
160 = 150 + ab
ab = 10

a = 10/b

Подставляя это значение в 150 = a^2 + b^2, мы получим уравнение:
150 = (10/b)^2 + b^2
150 = 100/b^2 + b^2
150b^2 = 100 + b^4

Решая это уравнение, мы найдем b=5, a=2√35. Чтобы убедиться в правильности ответа, найдем косинус угла между диагоналями, для этого подставим полученные значения сторон a=2√35 и b=5 в уравнение, найденное ранее:
(cosα = \frac{(2√35)^2 + 5^2 - 256}{2√35 * 5} = -0,5.)

Так как косинус угла между диагоналями равен -0,5, угол равный 120 градусам соответствует третьему углу треугольника, который находится напротив большей стороны a (параллельной диагонали 22 м).
Проверим, что стороны найдены верно, используя теорему синусов для ранее найденных трапеций:
(\frac{\frac{16}{2}}{sin120} = \frac{2√35}{sinα} = \frac{5}{sinβ}).

Выразив sin α и sin β и подставив найденные значения сторон и значние sin120=√3/2, выведем true statement и, следовательно, верно определим стороны параллелограмма - 2√35 и 5.