Дано:треугольник ABC AB=BC=AC треугольник D-медиана BE-медиана AD^DE=K доказать:треугольникAKE=BKD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Поскольку треугольник ABC равносторонний (AB=BC=AC), то медиана BE будет одновременно и высотой, и медианой, и медианой для треугольника ABC. Таким образом, BE будет также биссектрисой и ортосксюенной для угла A.

Так как AD является медианой треугольника ABC, то справедливо, что точка E является центром тяжести для треугольника ABC, а следовательно, точка E также является центром тяжести для треугольника AKE.

Так как AD является медианой, то K делит ее в отношении 2:1, а следовательно, DK=2AK и DE=2AE.

Из предыдущего пункта и того, что AB=BC=AC, следует, что треугольники AKE и BKD являются подобными (по стороне-против угла), так как DK=2AK и DE=2AE.

Следовательно, треугольник AKE подобен треугольнику BKD.

Таким образом, требуемое утверждение доказано.