Один из катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 2 см, а сумма величин трёх сторон равна 12 см. Найдите стороны треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим катеты треугольника через (a) и (b), а гипотенузу через (c).

По условию задачи имеем систему уравнений:

[
\begin{cases}
a = c - 2 \
a + b + c = 12
\end{cases}
]

Подставим первое уравнение во второе:

[
c - 2 + b + c = 12 \
2c + b = 14 \
b = 14 - 2c
]

Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора (a^2 + b^2 = c^2). Подставим (a = c - 2) и (b = 14 - 2c) в это уравнение:

[
(c - 2)^2 + (14 - 2c)^2 = c^2 \
c^2 - 4c + 4 + 196 - 56c + 4c^2 = c^2 \
5c^2 - 60c + 200 = 0 \
c^2 - 12c + 40 = 0
]

Решив квадратное уравнение, получаем два варианта:

(c_1 = 2), (c_2 = 10)

Так как гипотенуза всегда больше катетов, выберем (c = 10). Тогда подставим (c = 10) в первое уравнение и найдем (a):

(a = 10 - 2 = 8)

Подставим (a = 8) и (c = 10) в уравнение (a + b + c = 12) и найдем (b):

(8 + b + 10 = 12)
(b = 12 - 18 = 2)

Итак, стороны треугольника равны (a = 8), (b = 2), (c = 10).