В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные к гипотенузе, равны 15 см и 17 см. Найдите периметр треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.

Так как высота треугольника равна 15 см и проведена к гипотенузе, то получаем: 2ab = 15c.

Также, так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна 17 см, то получаем: 2c^2 = 17(a^2 + b^2).

Из первого уравнения находим, что ab = 15c/2, а из второго уравнения находим, что a^2 + b^2 = 2c^2/17.

Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем: a^2 + b^2 = c^2.

Подставляем найденные значения a^2 + b^2 и ab в уравнение a^2 + b^2 = c^2:

15c/2 = 2c^2/17,
откуда c = 30/17.

Теперь находим a и b:

ab = 15c/2,
ab = 15 30 / 17,
a * b = 450 / 17.

Так как a^2 + b^2 = c^2, то a^2 + b^2 = (30/17)^2,
a^2 + b^2 = 900 / 289.

Теперь решаем систему уравнений:

a + b + c = 2 * 15 + 30 / 17,
a + b + c = 60 / 17 + 30 / 17,
a + b + c = 90 / 17 + 30 / 17,
a + b + c = 120 / 17.

Периметр треугольника равен 120 / 17 + 30 / 17 = 150 / 17.

Ответ: периметр треугольника равен 150 / 17 см.