Угол В треугольника АВС больше угла А в два раза. Бисссектриса угла В делит АС на части АД=6 см, СД = 3 см. Найдите длину сторон треугольника АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть угол А равен х градусов, тогда угол В равен 2х градусов.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то угол С равен 180 - 3х градусов.

Теперь обратим внимание на биссектрису угла В. Известно, что она делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум оставшимся сторонам. Поэтому АД/СД = AB/BC.

Подставляем известные значения и получаем:
6/3 = AB/BC
2 = AB/BC

Теперь составим уравнение на основе теоремы синусов для треугольника АВС:
AB/sin(2х) = 6/sin(х)

Из уравнения на пропорции знаем, что AB/BC = 2, поэтому AB = 2*BC

Подставляем это в уравнение теоремы синусов и имеем:
2*BC/sin(2х) = 6/sin(х)

Преобразуем уравнение:
2BC = 6sin(2х)/sin(х)
BC = 3sin(2х)/sin(х)
BC = 32sin(х)cos(х)/sin(х)
BC = 6cos(х)

Теперь с учетом тригонометрического соотношения sin(2х) = 2sin(х)cos(х), можем переписать это в виде:
BC = 6cos(х) = 6*(sin(2х)/2sin(х)) = 3

AB = 2BC = 6
AC = AD + DC = 6 + 3 = 9

Итак, стороны треугольника ABC равны: AB = 6 см, BC = 3 см, AC = 9 см.