В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены медианы АЕ и CD. Докажите, что АВЕ=СВD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку треугольник АВС равнобедренный, то у него углы при основании также равные, то есть ∠А=∠С. Также, поскольку медианы поделены в отношении 1:2, то АЕ=2ЕС и СD=2DВ.

Из условия также следует, что треугольники АВЕ и СVD являются подобными, так как у них углы при основании равные (видим, что ∠ВСD=∠ВАЕ, так как оба угла равны ∠С=∠А и связаны медианами). Кроме того, стороны пропорциональны, потому что ЕС=1/2∗АС, а ВD=1/2∗CD и обратно, так как медианы делятся в отношение 1:2.

Из подобия треугольников получаем, что углы напротив равны, то есть ∠АВЕ=∠СVD. Следовательно, треугольники АВЕ и СVD равнобедренные с равными углами при вершине. Значит, ∠АВЕ=∠СVD.

Таким образом, ∠АВЕ=∠СVD.