Доказать, что все три медианы треугольника делят его на
шесть треугольников, равных по площади. ABC-треуг. К-середина BC. M-середина AC. N-середина AB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Пусть K, M, N - середины сторон BC, AC, AB соответственно. Тогда отрезки AK, BM и CN являются медианами треугольника ABC.

Покажем, что все три медианы пересекаются в одной точке. Пусть точка пересечения медиан AK и BM обозначается точкой P. Тогда, по определению медианы, KP = AP и MP = BP. Рассмотрим треугольник APC и треугольник BPC. У этих треугольников общая гипотенуза PC и они равны по одному катету (AP = BP), следовательно, треугольники равны. Значит, катеты равны, то есть AC = BC, и P лежит на медиане CN.

Теперь докажем, что точка пересечения всех трех медиан треугольника является их общим центром тяжести. Пусть G - точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда AG = 2GK, BG = 2GM и CG = 2GN (по свойствам центра тяжести). Таким образом, точка G делит каждую медиану в отношении 2:1, что и доказывает, что G - центр тяжести треугольника.

Теперь рассмотрим треугольники, образованные медианами треугольника ABC. По свойствам центра тяжести, центр тяжести дробит медианы в отношении 2:1. Таким образом, каждый из этих треугольников равен по площади половине треугольника ABC.

Из этого следует, что все три медианы треугольника ABC делят его на шесть треугольников, равных по площади.