Вершины треугольника со сторонами 2, 4√ 2, 6 см лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если плоскость треугольника удалена от ее центра на 4 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь треугольника по формуле Герона:
s = (a + b + c) / 2 = (2 + 4√2 + 6) / 2 = 6 + 2√2

Площадь треугольника равна S = √(s (s - a) (s - b) (s - c)) = √((6 + 2√2) (6 + 2√2 - 2) (6 + 2√2 - 4√2) (6 + 2√2 - 6)) = √((6 + 2√2) 4 2√2 * 2) = 8√(2 + 3√2)

Площадь треугольника также можно выразить через радиус сферы R и радиус окружности, описанной вокруг треугольника R1:
S = R * R1 / 2

Также известно, что площадь треугольника равна S = √(s (s - a) (s - b) * (s - c))

Следовательно, R * R1 / 2 = 8√(2 + 3√2)

Так как треугольник находится на сфере, плоскость треугольника параллельна тангенциальной плоскости к сфере, проходящей через центр окружности, радиус которой равен R1. Таким образом, треугольник делит окружность на 3 равные части и R1 = R - 4

Тогда уравнение примет вид:
R * (R - 4) / 2 = 8√(2 + 3√2)

Решая это уравнение, получаем R = 4 + 4√(2 + 3√2) = 4 + 4√2 + 12 = 16 + 4√2 см.

Итак, радиус сферы равен 16 + 4√2 см.