1) Стороны треугольника относятся как 4:5:6, а периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен 30 см. Найдите средние линии треугольника.2) В трапеции MNKP продолжения боковых сторон пересекаются в точке Е, причем EK=KP. Найдите разность оснований трапеции, если NK=7 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Пусть стороны исходного треугольника равны 4x, 5x и 6x. Поскольку периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен 30 см, то сумма средних линий треугольника будет равна половине периметра исходного треугольника, то есть 15 см.

Средняя линия, параллельная стороне 4x, равна 1/2 отрезка, соединяющего середину стороны 4x и вершину противолежащего угла. Следовательно, эта средняя линия равна 5/6 стороны 5x. Аналогично вычисляются две другие средние линии. Таким образом, мы получаем треугольник со сторонами 5/65x, 4/34x и 3/2*6x.

Сумма этих сторон должна быть равна 15: 5/65x + 4/34x + 3/2*6x = 15. Решив это уравнение, получим x=6. Следовательно, стороны этого треугольника равны 24, 30 и 36 см.

2) Из условия мы знаем, что NK=7 см и EK=KP. Так как EK=KP, то трапеция MNKP является равнобедренной. Опустим высоту треугольника KEN на сторону KN, обозначим точку пересечения высоты с боковой стороной MK за L.

Так как трапеция равнобедренная, то треугольник KEN также равносторонний. Следовательно, KL=LN=EN=7 см. Пусть основание MP=t см, тогда EO=MP=KP=t см.

Теперь мы видим, что трапеция пополам делим по диагонали MK на два равных треугольника, похожих на треугольник LEN.

Из подобия треугольников LEN и KEN мы можем записать пропорцию: 7/7=t/(t+7), откуда t=14.

Следовательно, разность оснований трапеции равна MP-EN=KP-EN=t-7=14-7=7 см.