Докажите, что в равных треугольниках соответственно равны: а) биссектрисы б) высоты

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а
Пусть даны два равных треугольника ABC и A'B'C' с равными сторонами AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C'.

Пусть I и I' – центры окружностей вписанных в треугольники ABC и A’B’C’ соответственно.

Так как треугольники ABC и A’B’C’ равны, то у них равны углы при вершине A и при вершине B, значит, углы BAC и B’A’C’ равны.

Из этого следует, что точки I, B, A и I’ , B’, A’ лежат на одной окружности с центром в точке O. Следовательно, O – середина дуги BC в данной окружности.

Так как углы BAC и B’A’C’ равны, то их биссектрисы также равны, так как они являются продолжением радиусов окружности.

Следовательно, биссектрисы треугольников ABC и A’B’C’ также равны.

б
Для доказательства равенства высот нужно доказать, что высоты проходят через вершины равных треугольников, а также, что они перпендикулярны к основаниям.

Проведем высоты треугольников ABC и A’B’C’ из вершин A и A’ соответственно.

Пусть H и H’ – основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и A’.

Так как треугольники ABC и A’B’C’ равны, то у них равны углы при вершине A и при вершине C, значит, прямые AC и A’C’ равны.

Из этого следует, что отрезки HH’ и AC равны и параллельны.

Следовательно, высоты треугольников ABC и A’B’C’ равны и перпендикулярны к основаниям.

Таким образом, в равных треугольниках соответственно равны их биссектрисы и высоты.