Дана окружность с центром в точке О, заданная уравнением (x-1)^2+(y+1)^2=4, и точка А(2;3). Докажите, что данная окружность проходит через середину отрезка ОА

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим координаты точки О как (a; b).

Тогда уравнение окружности имеет вид:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = 4

Так как точка О лежит на окружности, то подставим ее координаты:
(a - 1)^2 + (b + 1)^2 = 4
a^2 - 2a + 1 + b^2 + 2b + 1 = 4
a^2 - 2a + b^2 + 2b - 2 = 0

Также известно, что координаты точки А равны (2; 3).

Теперь найдем середину отрезка ОА. Координаты середины вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка:
x = (a + 2) / 2
y = (b + 3) / 2

Теперь докажем, что точка середины отрезка ОА лежит на окружности. Подставим координаты середины в уравнение окружности:
((a + 2) / 2 - a)^2 + ((b + 3) / 2 - b)^2 = 4
(a + 2 - 2a)^2 / 4 + (b + 3 - 2b)^2 / 4 = 4
(-a + 2)^2 / 4 + (1 - b)^2 / 4 = 4
(a^2 - 4a + 4 + 1 - 2b + b^2) / 4 = 4
(a^2 - 4a + b^2 - 2b + 5) / 4 = 4
a^2 - 4a + b^2 - 2b + 5 = 16
a^2 - 4a + b^2 - 2b - 11 = 0

Таким образом, точка середины отрезка ОА также удовлетворяет уравнению окружности, что и требовалось доказать.