2. В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВС взяты точки К и М соответственно, причем L KMC + L А = 180°. а) Докажите, что KM/AC=BK/BC б) Найдите отношение АВ: ВМ, если площадь четырехугольника АКМС относится к площади треугольника ВКМ как 8:1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для начала заметим, что треугольники ABC и BKС подобны по двум углам, так как L А = L KMC и L B = L B. Тогда, используя свойство подобных треугольников, получаем:

KM/AC = BK/BC.

б) Обозначим сторону треугольника ABC через x, тогда сторона треугольника BKС также равна x. Пусть KM = а, AC = b, ВК = с, ВМ = d. Тогда имеем следующие отношения:

1) а/b = 8/1,
2) а + с = b,
3) с + d = x.

Теперь выразим все величины через x:

с = x - d,
b = a + с = a + x - d.

Подставляя это в первое уравнение, получаем:

a/(a + x - d) = 8/1,
a = 8a + 8x - 8d,
7a = 8x - 8d,
a = (8/7)x - (8/7)d.

Теперь найдем отношение АВ к ВМ:

AB/VM = (AB/BK) (BK/BC) (BC/BM).

Так как треугольники ABC и BKС подобны, AB/BK = BC/AC, а BK/BC = KM/AC = a/b. Таким образом, имеем:

AB/VM = (BC/AC) (KM/AC) (BC/BM),

AB/VM = (x/(a + x - d)) (a/b) (x/(x - d)),

AB/VM = (x/(8/7x - 8/7d)) (8/1) (x/(x - d)).

Таким образом, мы нашли искомое отношение АВ к ВМ.