Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан равносторонний треугольник ABC со стороной d и точка M внутри треугольника.

Рассмотрим произвольное положение точки M в треугольнике ABC. Проведем высоты AM, BM, CM треугольника ABC. Обозначим точки их пересечения с сторонами треугольника как D, E, F соответственно.

Заметим, что треугольники ADM, BEM, CFM подобны треугольнику ABC (по признаку сходных треугольников - см. угловая часть), так как углы при вершине M в этих треугольниках равны соответственно углам при вершине А, В, С треугольника ABC.

Отсюда следует, что отношение сторон этих треугольников равно стороне основного треугольника ABC:
AD/AB = DM/BC
BE/AB = EM/AC
CF/AC = FM/BC

По определению, сумма расстояний от точки M до сторон треугольника ABC равна D, E, F :
D(M,AB) + D(M,BC) + D(M,CA) = AD + DM + BE + EM + CF + FM =AB + BC + AC = 3d

Таким образом, сумма расстояний от точки M до сторон равностороннего треугольника не зависит от положения точки M.