Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 22 см и площадь основания 144 см². Вычислите площадь всех поверхности призмы и ее объем.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину стороны основания призмы. Обозначим её за а. Площадь основания равна 144 см², поэтому (a^2 = 144). Таким образом, (a = \sqrt{144} = 12).

Так как призма правильная, то для вычисления площади боковой поверхности можно воспользоваться формулой: (S_{бок} = P \cdot h), где P - периметр основания, h - высота призмы.

Периметр основания для четырехугольной призмы вычисляется как 4 умножить на длину стороны (P = 4a = 4 \cdot 12 = 48).

По теореме Пифагора, где с^2 = a^2 + b^2, найдем высоту призмы
(h = \sqrt{d^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2})
(h = \sqrt{22^2 - 6^2})
(h = \sqrt{484 - 36})
(h = \sqrt{448})
(h = 8\sqrt{7}).

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности
(S_{бок} = 48 \cdot 8\sqrt{7} = 384\sqrt{7} \approx 867.82 \, см^2).

Теперь можно вычислить общую площадь всех поверхностей призмы
(S{общ} = S{осн} + 2 \cdot S{бок})
(S{общ} = 144 + 2 \cdot 384\sqrt{7})
(S_{общ} \approx 144 + 2 \cdot 867.82 \approx 1880.64 \, см^2).

Чтобы найти объем призмы, умножим площадь основания на высоту
(V = S_{осн} \cdot h)
(V = 144 \cdot 8\sqrt{7})
(V = 1152\sqrt{7} \approx 2617.72 \, см^3).

Итак, площадь всех поверхностей призмы составляет примерно 1880.64 см², а объем - примерно 2617.72 см³.