Тело получено вращением ромба со стороной a и острым углом альфа вокруг прямой, содержащей диагональ ромба. Найдите объем полученного тела вращения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения объема полученного тела вращения можно воспользоваться формулой объема вращения:

V = π∫[f(x)]^2 dx,

где f(x) - функция, задающая поверхность тела, а пределы интегрирования определяются по оси x.

Для данного случая, пусть d - длина диагонали ромба. Тогда уравнение диагонали ромба имеет вид:

d^2 = a^2 + a^2 - 2aa*cos(α).

Решив уравнение относительно a, найдем:

a = d/sin(α).

Таким образом, функция f(x), задающая поверхность тела вращения, выглядит следующим образом:

f(x) = d*cos(α).

Теперь можно найти объем тела вращения:

V = π∫[dcos(α)]^2 dx = π∫[d^2cos^2(α)] dx = π*d^2∫cos^2(α) dx.

Интегрируя по x, получим:

V = πd^2[x/2 + (1/4)*sin(2α)],

где x - переменная интегрирования.

Данный интеграл нужно взять в пределах от 0 до a, т.к. тело симметрично относительно оси вращения и половина ромба полностью входит в объем тела.

Итак, подставляя пределы интегрирования и решив получившийся интеграл, получим объем тела вращения:

V = πd^2[a/2 + (1/4)sin(2α)] = πd^2[d/(2sin(α)) + (1/4)*sin(2α)].

Таким образом, мы нашли объем полученного тела вращения при заданных условиях.