Окружность радиуса 2 касается прямой в некоторой точке M. На этой прямой по разные стороны от точки M взяты точки A и B на расстоянии, равном 3 от точки M. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся данной окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим центр данной окружности как O, а точку касания с прямой как N.

Поскольку окружность радиуса 2 касается прямой в точке M, то MN - радиус данной окружности, то есть MN = 2.

Так как точки A и B находятся на расстоянии 3 от точки M, то AM = BM = 3.

Опустим перпендикуляр из точки O на прямую AB, пусть он пересекает прямую AB в точке P.

Треугольник OMP - прямоугольный, так как перпендикуляр к стороне прямоугольника проходит через его вершину.

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике OMP:
OP^2 = OM^2 + MP^2
OP^2 = 2^2 + 2^2
OP = 2√2

Так как прямая AB проходит через точки A и B, то точка P является серединой отрезка AB, и, следовательно, AP = BP = 3/2.

Теперь рассмотрим треугольник OAP. Так как ON перпендикулярно AB, то он также является медианой треугольника OAP.

По формуле для медианы треугольника:
4(OP^2) = 2(OA^2 + AP^2) - PA^2
4(2√2)^2 = 2(2^2 + (3/2)^2) - (3/2)^2
32 = 8 + 9/4 - 9/4
32 = 8
Противоречие.

Таким образом, такая окружность не существует.