Докажите что ABCD квадрат если A(-3;-4;5) B(-2;0;-3) C(2;7;1) D(1;3;9)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы доказать, что ABCD является квадратом, нужно проверить следующие условия:

Для начала посчитаем длины сторон:

AB = √((-2 -(-3))^2 + (0-(-4))^2 + (-3 - 5)^2) = √(1^2 + 4^2 + 8^2) = √(1 + 16 + 64) = √81 = 9

BC = √((2-(-2))^2 + (7-0)^2 + (1-(-3))^2) = √(4^2 + 7^2 + 4^2) = √(16 + 49 + 16) = √81 = 9

CD = √((1-2)^2 + (3-7)^2 + (9-1)^2) = √((-1)^2 + (-4)^2 + 8^2) = √(1 + 16 + 64) = √81 = 9

DA = √((-3-1)^2 + (-4-3)^2 + (5-9)^2) = √((-4)^2 + (-7)^2 + (-4)^2) = √(16 + 49 + 16) = √81 = 9

Таким образом, длины сторон AB, BC, CD и DA равны 9.

Теперь найдем косинус углов между сторонами:

cos(∠ABC) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2AB BC) = (9^2 + 9^2 - AC^2) / (29*9) = (162 - AC^2) / 162

cos(∠BCD) = (BC^2 + CD^2 - BD^2) / (2BC CD) = (9^2 + 9^2 - BD^2) / (29*9) = (162 - BD^2) / 162

cos(∠CDA) = (CD^2 + DA^2 - AC^2) / (2CD DA) = (9^2 + 9^2 - AC^2) / (29*9) = (162 - AC^2) / 162

cos(∠DAB) = (DA^2 + AB^2 - BD^2) / (2DA AB) = (9^2 + 9^2 - BD^2) / (29*9) = (162 - BD^2) / 162

Если эти углы окажутся равными, то квадрат ABCD является квадратом.

Далее, нужно проверить, являются ли диагонали AC и BD перпендикулярными и равными.

Вывод: Для доказательства, что ABCD является квадратом, необходимо рассчитать косинусы углов между сторонами и проверить, что они равны, а также проверить перпендикулярность и равенство диагоналей.