Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник. Докажите, что площадь сферы, описанной около этого конуса, в 4 раза больше площади сферы, вписанной в него.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус сферы, описанной около конуса, равен R, а радиус сферы, вписанной в конус, равен r.

Так как осевое сечение конуса – равносторонний треугольник, то его высота равна

h = 3^(1/2)/2 * a,

где а – сторона треугольника.

Тогда радиус R сферы, описанной около конуса, равен половине высоты конуса:

R = (3^(1/2)/4) * a.

Площадь поверхности сферы радиуса R равна:

S1 = 4 π R^2 = 4 π ((3^(1/2)/4) a)^2 = π 3 * a^2.

Аналогично, радиус r сферы, вписанной в конус, равен трети высоты конуса:

r = (1/3) h = (1/3) (3^(1/2)/2) a = (2^(1/2)/2) a.

Площадь поверхности сферы радиуса r равна:

S2 = 4 π r^2 = 4 π ((2^(1/2)/2) a)^2 = π 2 * a^2.

Таким образом, отношение площадей сферы, описанной около конуса, к площади сферы, вписанной в конус, равно:

S1/S2 = (π 3 a^2) / (π 2 a^2) = 3/2.

То есть площадь сферы, описанной около конуса, в 3/2 раза больше площади сферы, вписанной в него.