Доказать, что если высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания, то боковые ребра этой пирамиды равны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания. Обозначим высоту пирамиды как h, радиус окружности как R, длину бокового ребра пирамиды как l.

Так как высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания, то она является радиусом этой окружности. Также из свойств пирамиды известно, что боковое ребро пирамиды l соединяет вершину пирамиды с точкой пересечения высоты и основания.

Посмотрим на треугольник, образованный боковым ребром, радиусом окружности и половиной бокового ребра. Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус касается окружности в точке с её центром, следовательно, угол между радиусом и боковым ребром прямой.

Далее, в этом треугольнике известны два равных отрезка (половина бокового ребра и радиус окружности) и угол между ними, следовательно, этот треугольник равнобедренный. А значит, боковое ребро пирамиды равно радиусу окружности: l = R.

Таким образом, если высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания, то боковые рёбра этой пирамиды равны.