Длины диагоналей четырёхугольника равны m и n. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника. Вычислите его периметр, если m=3 дм, n=8 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ABCD - четырёхугольник, M, N, P, Q - середины его сторон.

Так как MN = PQ = 0.5m, то QN = QP = 0.5(n).

Из треугольника ΔBQN: BN = √(BQ^2 + QN^2) = √((0.5m)^2 + (0.5n)^2) = √(0.25m^2 + 0.25n^2) = 0.5√(m^2 + n^2).

Аналогично, из треугольника ΔABN: AN = 0.5√(m^2 + n^2).

Итак, AB = 2AN = √(m^2 + n^2).

Построим диагональ BD.

Отрезок AM параллелен AD и равен ей в 2 раза, а BM равен в 2 раза BN, следовательно, ΔABM = 0.5ΔABD.

Так как AM = 0.5AD и ∠AM = 90 градусов, то ΔABM - это прямоугольный треугольник. Почему AM - медиана, соединяющая вершину прямого угла с серединой гипотенузы.

AB = √(m^2 + n^2), AM = 0.5√(m^2 + n^2) и MB = 0.5m => AB = √(AM^2 + MB^2) => AB = √(0.25m^2 + 0.25(m^2 + n^2)) => AB = √(0.25m^2 + 0.25m^2 + 0.25n^2) => AB = √(0.5m^2 + 0.25n^2).

Исходя из метрической задачи, зная m=3 дм, n=8 см и подставив это в формулу AB = √(0.5m^2 + 0.25n^2) получаем AB = √(0.53^2 + 0.258^2) = √(4.5 + 16) = √20.5.

Периметр четырёхугольника ABCD равен P = 4AB = 4*√20.5 ≈ 18.08 см.