Из вершины параллелограмма АВСD проведен луч, который пересекает сторону ВС в точке Р, а диагональ ВD в точке М. Площадь треугольника АВМ равна 10, а площадь треугольника ВМР равна 4. Найдите площадь параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины отрезков следующим образом: AB = a, AD = b, ВМ = x, МD = y, АР = h.

По условию, S(ABM) = 10, S(BMR) = 4.
Так как S = (1/2)ax и S = (1/2)xy, то: ax = 20, xy = 8.
Также, S(BMR) = S(BMD) - S(DMR), откуда: xy = (b+y)y - 4
8 = by + y^2 - 4

Так как AC || BD, то угол B = угол C и угол D = угол A, т.е. треугольник ВМР подобен треугольнику ВАС.
По свойству параллелограмма, треугольник ВМР равен треугольнику СРА и также равен треугольнику ВАМ.
S(ВМР) = S(АСР) = S(ВАM)
4 = (a + x)h/2
10 = (a + b + x)h/2

Для решения этой системы, выразим x из 8 = by + y^2 - 4 и подставим его в х = 20/a:
x = 20/a => a = 20/x
xy = 8 => y = 8/x => x = 20/y

8 = by + y^2 - 4 => 8 = b*8/x + 8^2/x^2 - 4 => 8 = 8b/x + 64/x^2 - 4
64/x^2 - 8b/x + 4 = 0
64 - 8bx + 4x^2 = 0
4x^2 - 8bx + 64 = 0
x^2 - 2bx + 16 = 0
x = 2b +/- sqrt(4b^2 - 64) = 2b +/- 4sqrt(b^2 - 16)

так как xy = 8 => b(2b +/- 4sqrt(b^2 - 16)) = 8
b(2b +/- 4sqrt(b^2 - 16)) = 8
2b^2 +/- 4bsqrt(b^2 - 16) - 8 = 0
2b^2 +/- 4bsqrt(b^2 - 16) = 8

Если разложить по заданию подкоренное:
20y = 2b 2 +/- 24 => 2b = 4(1 +/- sqrt(5))
4(x + y) = 2b 2 +/- 2*4 => 2b = 2(2 +/- sqrt(5))

следовательно, b = 1, h = 8
S(ABCD) = b * a = 20.