Из точки M, не принадлежащей плоскости гамма, проведены к ней равные наклонные MA MB и MC. Докажите, что основания наклонных принадлежат одной окружности. Найдите её центр.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку точка M не принадлежит плоскости гамма, то линии MA, MB и MC будут пересекать гамму по трем различным точкам A', B' и C' соответственно.

Рассмотрим треугольники MAA', MBB' и MCC'. Так как отрезки MA = MB = MC, а также углы AMB, BMC и CMA равны друг другу, то эти треугольники будут равнобедренными.

Таким образом, мы видим, что точки A, B и C являются серединами сторон треугольников MAA', MBB' и MCC' соответственно.

Теперь рассмотрим окружность, проходящую через точки A, B и C. Поскольку точки A, B и C являются серединами сторон треугольника A'B'C', то данная окружность будет являться дугой описанной окружности треугольника A'B'C'. Следовательно, её центр будет совпадать с центром описанной окружности треугольника A'B'C'.

Таким образом, мы доказали, что основания наклонных MA, MB и MC принадлежат одной окружности, центр которой совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C'.