Докажите, что в пятиугольнике, все углы и стороны которого равны, сумма расстояний от произвольной внутренней точки до сторон не зависит от выбора этой точки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть правильный пятиугольник (все углы и стороны равны), и нам нужно доказать, что сумма расстояний от произвольной внутренней точки до сторон не зависит от выбора точки.

Пусть (ABCDE) - это правильный пятиугольник. Рассмотрим произвольную внутреннюю точку (P). Проведем отрезки (AP), (BP), (CP), (DP), (EP) перпендикуляры к сторонам пятиугольника.

Теперь заметим, что каждый такой перпендикуляр делит сторону на две равные части. Таким образом, сумма расстояний от точки (P) до сторон пятиугольника равна половине периметра пятиугольника.

Итак, сумма расстояний от произвольной внутренней точки до сторон правильного пятиугольника равна половине его периметра, что не зависит от выбора точки.

Таким образом, доказали, что сумма расстояний от произвольной внутренней точки до сторон правильного пятиугольника не зависит от выбора точки.