Отрезок BE является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC (угол A=90°). Окружность проходит через точки B, A, E и пересекает сторону BC в точке D так, что BD:BC=5:13. Найти отношение площади треугольника ABC к площади круга.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины отрезков AB, BC и AC как a, b и c соответственно. Так как отрезок BE является биссектрисой, то BD/DC = AB/AC = a/c. Из этого следует, что BD = 5b и DC = 5c.

Так как BE - биссектриса треугольника ABC, то BE является высотой треугольника ABD и также является радиусом описанной окружности. Так как BE является радиусом описанной окружности и опущена из вершины прямого угла треугольника ABC, то точка D является серединой гипотенузы AC. Следовательно, DC = AC / 2 = c / 2.

Из предыдущих рассуждений следует, что c / 2 = 5c => c = 2.5.

Теперь можем найти стороны треугольника ABC: a = 2, b = 5, c = 2.5.

Площадь треугольника ABC равна S_ABC = 1/2 2 5 = 5.

Теперь найдем площадь круга. Радиус круга равен равен BE = BD = 5. Таким образом, площадь круга равна S_circle = π r^2 = π 5^2 = 25π.

Итак, отношение площади треугольника ABC к площади круга равно 5 / 25π = 1 / 5π.