На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC построен квадрат ABDK с центром в точке O. Докажите, что CO – биссектриса прямого угла и найдите CO, если ВС=а и АС=b

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольники ABC и ABDK подобны, так как у них совпадают углы при вершине A (прямой угол), угол B и угол KDB.

Из подобия треугольников ABC и ABDK можем написать следующее отношение сторон:
AC/AB = AB/AD, откуда AB^2 = ACAD = bAD, так как AC = b

Теперь вспомним, что О - центр квадрата, поэтому OA = OD = AB/2
Пусть CO = x, тогда AD = OA + OD + DC = AB/2 + AB/2 + x = AB + x

Таким образом, получаем AB^2 = b(AB + x), откуда AB^2 = bAB + bx, AB^2 = bAB, то есть b*x = 0, отсюда следует, что x = 0, то есть CO проходит через вершину прямого угла В

Также, так как треугольники ABC и ABDK подобны, то у них совпадают пропорции сторон. Тогда можно написать:
AC/AB = BC/BD = CO/CB = b/(AB/√2) = b/((b*√2)/2) = 2/√2 = √2

Таким образом, CO = √2*a