Дан правильный 1)четырёхугольник;2)12-угольник.Найдите отношение площадей вписанного и описанного в него кругов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Площадь вписанного круга в четырёхугольник равна $S{в} = \frac{r^2}{2}$, где $r$ - радиус вписанного круга.
Площадь описанного круга в четырёхугольник равна $S{о} = \frac{d^2}{2}$, где $d$ - диагональ четырёхугольника.
Так как четырёхугольник правильный, то диагональ равна $d = \sqrt{2}*a$, где $a$ - сторона четырёхугольника.
Тогда $S{в} = \frac{a^2}{8}$, $S{о} = \frac{a^2}{2}$
Отношение площадей кругов: $\frac{S{в}}{S{о}} = \frac{\frac{a^2}{8}}{\frac{a^2}{2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

2) Площадь вписанного круга в 12-угольник равна $S{в} = \frac{r^2 12 \sin{\frac{360}{12}}}{2}$, где $r$ - радиус вписанного круга.
Площадь описанного круга в 12-угольник равна $S{о} = \frac{R^2 12 \sin{\frac{360}{12}}}{2}$, где $R$ - радиус описанного круга.

Отношение площадей кругов: $\frac{S{в}}{S{о}} = \frac{r^2}{R^2}$

Так как в 12-угольнике радиус описанного круга больше радиуса вписанного ($R > r$), отношение площадей будет меньше единицы.