Найти длину окружности, если площадь вписанного в окружность правильного треугольника равна 36 корней из 3 квадратных сантимеров

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нам нужно найти радиус вписанной окружности в правильный треугольник, зная его площадь.

Площадь вписанного в правильный треугольник равна:
S = (a * r) / 2,

где S - площадь треугольника,
a - длина стороны треугольника,
r - радиус вписанной окружности.

Так как правильный треугольник можно разбить на 3 равносторонних треугольника, то площадь каждого из них равна:
S' = S / 3 = 12 корня из 3.

Площадь равностороннего треугольника можно выразить через длину его стороны a:
S' = (a^2 * sqrt(3)) / 4.

Отсюда находим длину стороны a:
a = sqrt((4 * 12) / sqrt(3)) = 4.

Поскольку вписанная окружность в правильный треугольник касается всех его сторон, радиус вписанной окружности равен:
r = a / (2 sqrt(3)) = 4 / (2 sqrt(3)) = 2 / sqrt(3).

Длина окружности равна:
C = 2 pi r = 2 pi (2 / sqrt(3)) = 4 pi / sqrt(3) = 4 pi * sqrt(3) / 3.

Итак, длина окружности равна 4 pi sqrt(3) / 3.