Докажите что если действительные положительные числа a,b,c. являются длинами сторон треугольника и удовлетвоРяют Условию а^3+b^3+c^3=ab(а+b)-bc(b+c)+аc(а+c),то Треугольник прямоугольний.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия:

a^3 + b^3 + c^3 = ab(a + b) - bc(b + c) + ac(a + c)

Так как сумма кубов чисел равна разности суммы произведений двух чисел и выражений их сумм, можно представить это уравнение в виде:

a(a^2 - b^2 - c^2) + b(b^2 - a^2 - c^2) + c(c^2 - a^2 - b^2) = 0

Используем формулу для площади треугольника через стороны:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр треугольника.

Подставляем стороны треугольника вместо a, b, c:

S = sqrt((a + b + c)(a + b - a)(a + c - b)(b + c - a))

Упрощаем выражение и приводим подобные слагаемые:

S = sqrt((2a)(b)(c)(-a + b + c))

Теперь подставляем найденное значение в уравнение:

S^2 = 2abc*(-a + b + c)

abc = (a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)

Так как длины сторон треугольника являются положительными числами, то можно записать:

a + b > c, a + c > b, b + c > a.

Выражение abc равно произведению разностей длин сторон треугольника. То есть, abc - площадь треугольника равна нулю, только если одна из сторон равна сумме двух других сторон.

Следовательно, треугольник с длинами сторон a, b, c будет прямоугольным.