В параллелограмме ABCD биссектрисы ВЕ и СЕ углов B и C пересекаются в точке Е, лежащей на стороне AD. Найдите ВЕ, если угол ВЕС+угол АВЕ = 150° и ВС=12.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как ВЕ и СЕ являются биссектрисами углов B и C, то по свойству биссектрис в треугольнике, получаем, что угол ВЕС = угол ВСЕ = x и угол АВЕ = угол СВЕ = y.

С учетом условия задачи имеем систему уравнений:
x + y = 150°
2x + 2y = 180°
x + y = 150°
x = 15°
y = 135°

Теперь рассмотрим треугольник СВЕ. Поскольку углы ВЕС и ВСЕ равны между собой, а углы BCE и BCA являются вертикальными (угол BCE = угол BCA), то угол ВЕC равен 90 градусов.

Используя теорему косинусов в треугольнике СВЕ, получаем:
(ВE)^2 = (СВ)^2 + (ЕС)^2 - 2 ВС ЕС cos(ВЕC)
(ВE)^2 = 12^2 + (ВE)^2 - 2 12 ВE cos90
0 = 144 + (ВE)^2 - 24 ВE
0 = (ВE)^2 - 24 ВE + 144
(ВE - 12)^2 = 0
ВE = 12

Итак, ВЕ = 12.