Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 45. Основанием пирамиды служит треугольник со стороной , равно 10 и противолежащим углом 30. Чему равен объем описанного около пирамиды конуса?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту пирамиды. Разобьем треугольник на два прямоугольных треугольника, у которых гипотенуза будет высотой пирамиды. Так как противолежащий угол 30 градусов, то катет против угла 30 градусов будет равен ( \frac{10}{2} = 5 ).

Применим теорему синусов к маленькому треугольнику:
[ \frac{5}{\sin 30} = \frac{h}{\sin 60} ]
Решаем и находим высоту:
[ h = 5 \sqrt{3} ]

Теперь найдем радиус основания конуса. Разобьем треугольник на равнобедренный треугольник со стороной 5 и высотой, который можно разбить на прямоугольный треугольник со сторонами 5, 5 и гипотенузой радиуса конуса ( r ). Тогда:
[ r = \frac{5}{\sqrt{2}} ]

Теперь можем найти объем конуса по формуле ( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ):
[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot 5 \sqrt{3} ]
[ V = \frac{25}{6} \pi ]

Ответ: объем описанного около пирамиды конуса равен ( \frac{25}{6} \pi ).