Две окружности касаются внешним образом в точке А. Через точку А проводятся всевозможные прямые, пересекающие окружности еще в двух точках. Найдите множество середин отрезков с концами в этих точках.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть (O_1) и (O_2) - центры окружностей, (r_1) и (r_2) - их радиусы. Тогда для любой прямой, проходящей через точку A, мы получим по теореме о касательной секущей следующее:

[|OA_1|^2 = |OA_2|^2 = r_1 \cdot r_2]

где (|OA_1|) и (|OA_2|) - расстояния от центров окружностей до точки A.

Таким образом, точка O - середина отрезка между этими двумя точками. Получаем, что все такие середины образуют окружность с центром в точке O, радиус которой равен половине от (r_1 + r_2).

Итак, множество середин отрезков с концами в точках, полученных при пересечении прямых с окружностями, образует окружность с центром в точке O и радиусом (\frac{r_1 + r_2}{2}).