Две окружности касаются внешним образом в точке А. Найти радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку А с точками касания одной из общих внешних касательных, равны 6 см и 8 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиусы окружностей через r1 и r2. Пусть точка касания окружностей с общей внешней касательной равно B, а точка, где хорда длиной 6 см касается окружности с радиусом r1, равна С, а хорда длиной 8 см - Д.

Так как отрезки AB, AC и AD являются радиусами окружности с радиусом r1, то можно записать теорему Пифагора для треугольников ABC и ADB:

AC^2 = AB^2 + BC^2
AD^2 = AB^2 + BD^2

Выразим BC и BD через r1 и r2:

BC = r1 - r2
BD = r2 - r1

Теперь подставим значения AC и AD:

r1^2 - r2^2 = 6^2
r2^2 - r1^2 = 8^2

Просуммировав эти два уравнения, получаем:

2r2^2 - 2r1^2 = 6^2 + 8^2
2(r2^2 - r1^2) = 100
r2^2 - r1^2 = 50

Подставляем это обратно в одно из уравнений:

r1^2 + 50 = 6^2
r1^2 = 36 - 50
r1^2 = 14
r1 = √14

Теперь найдем r2:

r2^2 = r1^2 + 50
r2^2 = 14 + 50
r2^2 = 64
r2 = 8

Итак, радиусы окружностей равны √14 см и 8 см.