В треугольнике ABC точка P лежит на стороне AB, причём угол BPC острый. Докажите, что PC > AC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства неравенства PC > AC воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике BPC:

В треугольнике BPC:

PC^2 = BP^2 + BC^2 - 2BPBC*cos(<BPC)

Поскольку угол BPC острый, то cos(<BPC) > 0, следовательно:

PC^2 = BP^2 + BC^2 - 2BPBC*cos(<BPC) < BP^2 + BC^2

Теперь воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBC*cos(<ABC)

Поскольку угол ABC прямой, то cos(<ABC) = 0, следовательно:

AC^2 = AB^2 + BC^2

Таким образом, у нас получилось неравенство:

PC^2 < BP^2 + BC^2 < AB^2 + BC^2 = AC^2

Далее, из этого неравенства следует, что:

PC < AC

Таким образом, доказано неравенство PC > AC.