1)В трапеции ABCD(BC||AD) точка М делит диагональ АС в отношении 1:3(3АМ=MC), а точка К-середина DC. Найти отношение площади треугольника МСК к площади трапеции ABCD,если AD=2BC 2)Доказать что в любом треугольнике сумма трех медиан меньше периметра, но больше 3/4 периметра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Пусть AB = a, AD = 2x, BC = x. Тогда AM = 3x, MC = x, DK = x.
Теперь найдем площадь треугольника MSK. Поскольку MK - медиана треугольника ADC, то S(ADC) = 3S(MK).
S(ADC) = (AD BC) / 2 = x 2x / 2 = x^2
S(MK) = (1/3) S(ADC) = (1/3) x^2
S(MSK) = (1/3) x^2
Теперь найдем площадь трапеции ABCD.
S(ABCD) = ((BC + AD) h) / 2 = ((x + 2x) a) / 2 = 3ax / 2
Отношение площади треугольника MSK к площади трапеции ABCD:
(1/3) x^2 / (3ax / 2) = 2x / 9a

2) Доказательство:
Пусть ABC - треугольник, m_a, m_b, m_c - медианы, a, b, c - стороны треугольника.
Тогда медиана меньше соответствующей стороны треугольника, т.е. m_a < a, m_b < b, m_c < c.
Следовательно, сумма медиан будет меньше суммы сторон: m_a + m_b + m_c < a + b + c.
На другой стороне, сумма медиан треугольника равна трем четвертям суммы его сторон: m_a + m_b + m_c = 3/4(a + b + c).
Таким образом, сумма медиан треугольника всегда больше 3/4 периметра, но меньше периметра.