В четырехугольнике abcd стороны bc и cd равные, а стороны ab и ad не равны. Диагонали AC равна 8 ,является биссектрисой угла BAD равного 45 град , найти ab+ad

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка M - середина стороны CD, то есть DM = MC. Также, угол BAC = 45 градусов, а угол CAD = угол BAC/2 = 22.5 градуса.

Из теоремы синусов для треугольника ACD:
8 = AC = CD sin 45 / sin 22.5
CD = 8 sin 22.5 / sin 45
CD = 8 * √2 / 2 = 4√2

Теперь рассмотрим треугольники AMD и DMC.
Из равенства сторон DM = MC следует, что угол MCD = угол MDC.
Также, угол ACD = угол MAD = 22.5 градусов, так как AC - биссектриса угла BAD.
Таким образом, угол CMD = угол MDC = 22.5 градусов.

Рассмотрим треугольник DCM.
Так как угол MDC = угол CMD, то треугольник DCM равнобедренный, и DC = MC = 4√2.

Из равенства сторон в треугольнике AMD получаем, что AM = MD = 4√2/2 = 2√2.

Из прямоугольного треугольника AMB (где B - середина сторон AD) следует:
AB^2 = AM^2 + MB^2
AB^2 = (2√2)^2 + (AD/2)^2
AB^2 = 8 + (AD/2)^2

Из прямоугольного треугольника BCD и равнобедренного треугольника DCM:
BD = CD = 4√2

Из прямоугольного треугольника ABC (где C - середина стороны AB) следует:
AB^2 + BC^2 = AC^2
AB^2 + 4^2 = 8^2
AB^2 = 64 - 16
AB^2 = 48
AB = √48 = 4√3

Из треугольника AMB:
AB = 4√3 = 8 + (AD/2)^2
(AD/2)^2 = 4√3 - 8
(AD/2)^2 = 4(√3 - 2)
AD/2 = √4(√3 - 2)
AD = 2√4(√3 - 2)
AD = 4√3 - 4

Теперь находим ab + ad:
ab + ad = AB + AD
ab + ad = 4√3 + 4√3 - 4
ab + ad = 8√3 - 4

Итак, ab + ad = 8√3 - 4.