В трапеции ABCD с основаниями AD и BC точка Е середина боковой стороны CD. Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь треугольника ABE равна 16

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь треугольника ABE равна половине произведения основания AB и высоты h, опущенной из вершины А на основание BC, таким образом получим:

16 = (AB h) / 2
AB h = 32

Так как точка E - середина стороны CD, то CE = ED. Таким образом, DE = BC - AB.

Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников ABE и CDE:

S = 16 + (DE h) / 2 = 16 + ((BC - AB) h) / 2 = 16 + ((BC - AB) (AB 2) / 32) = 16 + ((BC - AB) * AB / 16)

Так как треугольник ABE - прямоугольный, то сумма квадратов его катетов равна квадрату гипотенузы, т.е. AB^2 + h^2 = AE^2. Так как E - середина, то AE = AB / 2.

Таким образом, AB^2 + (AB / 2)^2 = (AB * (5 / 4))^2 = AD^2.

Из этого уравнения найдем AB = AD / 2 sqrt(5). Подставим это значение в формулу площади трапеции ABCD:

S = 16 + ((BC - AD / (2 sqrt(5))) AD / (2 sqrt(5)) / 16
S = 16 + ((2BC sqrt(5) - AD) AD / (8 sqrt(5)))

Теперь нужно получить выражение для BC через длины сторон трапеции ABCD. Пользу квадратичность трапеции: AD^2 - BC^2 + h^2 + CD^2 = AD^2. Подставим значения:

(AD)^2 - (BC)^2 + h^2 + (2 sqrt(5) AD - 2 BC)^2 = (AD)^2

(BC)^2 + h^2 + 20 AD - BC^2 + 4 BC = 0
(5/4 AD)^2 - BC^2 + h^2 + 20 AD - BC^2 + 4 BC = 0
5 AD^2 / 16 - 2 BC^2 + 20 AD + 4 BC = 0
2 BC^2 - 4 BC - 5 AD^2 / 16 + 20 AD = 0
BC^2 - 2 BC - 5 AD^2 / 32 + 10 AD = 0

S = 16 + ((2 BC - AD / sqrt(5)) AD / sqrt(5) / 16
S = 16 + ((2 BC - AD / sqrt(5)) AD / 16 sqrt(5)
S = 16 + ((10 AD + 8 BC - 2 AD) AD / 16 sqrt(5)

0 = 3 AD^2 - 4 AD BC + BC^2
AD = 3,

BC = 1 + 3sqrt(5)

S = 16 + ((BC - AD) AD / 16
S = 16 + (BC AD - AD^2) / 16
S = 16 + (1 + 3sqrt(5) * 3 - 3^2) / 16
S = 16

Ответ: площадь трапеции ABCD равна 16.