Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая.определить длину касательной ,если она на 5 см больше внешнего отрезка секущей и на столько же меньше её внутреннего отрезка

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть $AB$ - секущая окружности, а $CD$ - касательная.

Так как касательная и секущая, проведенные из одной точки, касаются окружности из разных сторон точки касания, то можно построить прямую $CE$, перпендикулярную касательной $CD$ через точку касания $C$. Тогда $\triangle CDE$ - прямоугольный.

Пусть $r$ - радиус окружности, $x$ - длина внутреннего отрезка секущей, $x+5$ - длина внешнего отрезка секущей, $y$ - длина касательной. Тогда $DE = r$ (так как это радиус окружности).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $CDE$ получаем:
[y^2 = (x + 5)^2 - r^2 = x^2 - 2rx + 5x + 25 - r^2]
[r^2 = CE^2 = CD^2 - DE^2 = x^2 - 2rx + 5x]

Подставим равенство для $r^2$ в первое уравнение:
[y^2 = x^2 - 2rx + 5x + 25 - (x^2 - 2rx + 5x)]
[y^2 = 25]
[y = 5]

Таким образом, длина касательной равна 5 см.