Площадь равнобедренной трапеции равна 8, а угол между прямыми, содержащими диагонали трапеции равен 30 градусов. Чему равна высота трапеции?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту трапеции через h, основания - a и b (где a - верхнее основание, b - нижнее).
Так как угол между диагоналями равен 30 градусов, то треугольник, образованный диагоналями, является равнобедренным.
Тогда согласно свойствам равнобедренного треугольника, вертикальный угол, образованный высотой и основанием, равны.
Таким образом, у нас есть два треугольника, равные по трем сторонам.
Площадь трапеции вычисляется по формуле S = h (a + b) / 2.
Также мы можем представить площадь трапеции как сумму площадей треугольников: S = S1 + S2, где S1 и S2 - это площади треугольников, образованных диагоналями и основаниями трапеции.
Площади треугольников равны: S1 = (h a) / 2, S2 = (h b) / 2.
Тогда площадь равнобедренного треугольника, образованного диагоналями, равна S1 = S2 = (h a) / 2.
Значит площадь трапеции можно представить как: S = 2 (h a) / 2 = h a.
Согласно условию, S = 8.
Из этого можно найти h: h a = 8, h = 8 / a.

Осталось найти a. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для равнобедренного треугольника: a^2 = b^2 + b^2 – 2bbcos(30°).
a^2 = 2 b^2 – 2b^2cos(30°) = 2 b^2 – b^2 sqrt(3) / 2.
Так как a = 2 h, то a^2 = 4 h^2.
Таким образом, 4 h^2 = 2 b^2 – b^2 sqrt(3) / 2.
Теперь можем выразить b через h: b^2 = 4 h^2 / (2 – sqrt(3) / 2) = 4 h^2 / (4 – sqrt(3)).
b = sqrt(4 h^2 / (4 – sqrt(3))).

Теперь найдём h: h a = 8, h 2 h = 8, 2 h^2 = 8, h^2 = 4, h = 2.

Подставим h в формулу для b:
b = sqrt(4 2^2 / (4 – sqrt(3))) = sqrt(16 / (4 – sqrt(3))) = sqrt(16 (4 + sqrt(3))/((4 – sqrt(3))(4 + sqrt(3))) = sqrt((64 + 16sqrt(3))/(16 – 3)) = sqrt((64 + 16sqrt(3))/13) = sqrt((16 + 4sqrt(3))/3).

Итак, высота трапеции равна 2.