Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 12. Найдите объем пирамиды, отсекаемой от нее плоскостью, проходящей через диагональ основания и середину противоположного бокового ребра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем объем исходной пирамиды. Обозначим высоту пирамиды как h, а сторону основания как a.

Так как пирамида правильная, то треугольник, образованный высотой, медианой боковой грани и половиной диагонали основания, будет прямоугольным. Таким образом, соотношение между сторонами треугольника равно:

a^2 = (h^2 + (a/2)^2) => a = √(4h^2/3) = 2h/√3

Объем пирамиды равен 1/3 S h, где S - площадь основания. Площадь основания вычисляем как S = a^2 = (2h/√3)^2 = 4h^2/3.

Теперь можем найти объем V исходной пирамиды:

V = 1/3 S h = 1/3 4h^2/3 h = 4h^3/9

Так как V = 12, то:

4h^3/9 = 12 => h^3 = 27 => h = 3√3

Теперь находим объем отсеченной пирамиды. Рассмотрим правильный треугольник, образованный диагональю основания, медианой боковой грани и проведенной плоскостью отсечения. Так как треугольник равнобедренный, то медиана будет являться высотой отсеченной пирамиды.

Длина медианы равна половине стороны основания a, то есть a/2 = h/√3. Тогда объем отсеченной пирамиды равен:

V' = 1/3 S' h = 1/3 (a/2 h) h = 1/3 (h/√3 h) h = h^3/3√3 = (3√3)^3 / 3√3 = 9

Таким образом, объем пирамиды, отсекаемой от исходной плоскостью, проходящей через диагональ основания и середину противоположного бокового ребра, равен 9.