В четырехугольнике отрезки соединяющие середины противоположных сторон равны. докажите что угол между диагоналями этого четырехугольника равен 90

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение.

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, в котором отрезки AC и BD соединяют середины противоположных сторон. Пусть M и N - середины сторон AB и CD соответственно.

Так как отрезки AC и BD соединяют середины сторон, то они равны: AC = BD. Также, по теореме о половине основ и высоте, отрезки AM и MC равны между собой, а отрезки BN и ND также равны между собой.

Так как AM = MC и BN = ND, а теперь также заметим, что треугольники AMC и BND равны, так как у них равны стороны AM и MC, BN и ND, и углы AMС и BND равны по теореме о треугольниках с равными сторонами.

Итак, у нас есть, что углы AMС и BND равны, а также у нас есть, что отрезки AC и BD равны, следовательно, треугольники AMC и BND равны по стороне-углу-стороне.

Теперь вернемся к четырехугольнику ABCD и диагоналям. Мы знаем, что AM = MC и BN = ND, и треугольники AMC и BND равны. Следовательно, диагонали AC и BD равны между собой.

Теперь рассмотрим угол между диагоналями. У нас есть противоположные верхние углы AMС и BND, которые мы уже доказали равными. Таким образом, угол между диагоналями четырехугольника ABCD равен 90 градусов.