В прямоугольном треугольнике АВС(угол С=90) проведена высота СD так, что длинна отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, AD=9см. Найдите стороны треугольника ABC. В каком отношении CD делит площадь треугольника ABC?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть BC = x, CD = y. Тогда BD = y + 4.

Из подобия треугольников АCD и BDC получаем:

9/y = (y + 4)/x

9x = y(y + 4)

Нам также дано, что AC является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC. По теореме Пифагора:

AC^2 = AB^2 + BC^2

9^2 = x^2 + (x^2 + 9)^2

81 = x^2 + x^4 + 18x^2 + 81

x^4 + 19x^2 = 0

x^2(x^2 + 19) = 0

x = 0 или x = √19

Так как стороны треугольника не могут быть равны нулю, получаем x = √19.

После подстановки x = √19 в уравнение 9x = y(y + 4) получаем:

9√19 = y(y + 4)

9√19 = y^2 + 4y

Теперь находим значения y:

y^2 + 4y - 9√19 = 0

Дискриминант D = 4^2 - 41(-9√19) = 16 + 36√19

y = (-4 ± √(16 + 36√19))/2

Итак, стороны треугольника ABC равны √19, 5√19 и 9. Площадь треугольника ABC равна (1/2)√195√19 = 19/2.

CD делит площадь треугольника ABC на произвольное отношение.