В ΔАВС на медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ=10:9. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найти отношение площади четырёхугольника КРСМ к площади ΔАВС

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину стороны треугольника ABC через а. Так как точка К делит медиану ВМ в отношении 10:9, то мы можем записать, что BM = 19k, а MV = 10k.
Так как точка M - середина стороны ВС, то BK = KC = 9k.

Теперь применим теорему Фалеса к треугольнику АКМ и прямой ВР:
BK/KC = AM/MP
9k/9k = AM/(a - RK)
1 = AM/(a - RK)

Также применим теорему Фалеса к треугольнику ВКР и прямой МС:
BM/MV = KR/RC
19k/10k = RK/(a - RK)
1.9 = RK/(a - RK)

Из этих двух уравнений можно составить систему:
AM = a - RK
RK = 1.9RK/(a - RK)
AM = a - 1.9RK/(a - RK)

Теперь можно посчитать площадь треугольника KRM:
S(KRM) = 0.5 KR RM = 0.5 RK AM
S(KRM) = 0.5 RK (a - RK) = 0.5 * 1.9RK = 0.95RK

Теперь найдем отношение площади четырехугольника KRCM к площади треугольника ABC:
S(KRCM) / S(ABC) = S(KRM) / (2 S(ABC)) = 0.95RK / (2 (0.5 a MV)) = 0.95 1.9k / (a 5k)
S(KRCM) / S(ABC) = 1.9 / 5 = 0.38

Ответ: Отношение площади четырехугольника KRCM к площади треугольника ABC равно 0.38.